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机器学习实践-转化率预估之贝叶斯平滑

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问题描述

在做比赛的过程中，我们发现了有转化率这个指标在大量数据下是有效的。理想情况下，例如某个广告点击量是10000次，转化量是100次，那转化率就是1%。但有时，例如某个广告点击量是2次，转化量是1次，这样算来转化率为50%。但此时这个指标在数学上是无效的。因为大数定律告诉我们，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。后者点击量只有2次，不满足“重复试验多次”的条件。

那么如何解决这个问题呢？

整体思路：用估计值来模拟实际CVR。

解决方案

实际上，广告妆化率是随着时间迁移和用户喜好变化而变化的。因此我们可以利用先验知识来持续性地调整CVR。计算广告训练与平滑思想给出了一个很好的解决方案：贝叶斯平滑。

考虑到时序序列模型，我们把从第一天到第n天的所有先验知识汇总到第n天的结果，并以此来对第n+1天的CTR进行平滑。在广告平滑上，没有什么方法比贝叶斯平滑能够更好的利用先验知识了，而帮助贝叶斯平滑方法实现目标的就是Beta分布。Beta分布的强大之处在于，通过改变其中的两个参数α和β，你可以让Beta分布的图形变成任意形状，而且在加入先验知识前后，通过贝叶斯变换，对CTR的预估都可以表示为Beta分布。

Beta分布中参数α和β的本质含义，即：α表示点击数，β表示曝光数。因为贝叶斯平滑的具体公式（后面再讲这个公式的原理）就是：

\[SmoothCTR = \frac{(α + CurrentC - 1)}{( α + β + CurrentI -2)}\]

公式由来：

  • 一般来说，点击还是不点击，这是服从伯努利二项分布的。
  • 而二项分布的共轭分布就是Beta分布，也就是说，点击率服从Beta分布
  • 我们可以从历史数据当中学到历史数据的Beta分布的具体参数，也就是先验分布\(\pi(r)\) （不加任何条件限制的分布）
  • 共轭先验有一个特性：如果找到一个\(\pi(r)\)，它是\(\pi(x|r)\)的共轭先验，那么r的后验分布\(\pi(r|x)\)和先验分布\(\pi(r)\)会有一样的形式。
  • 这个特性告诉我们：先验分布\(\pi(r)\) （也就是历史数据）的分布与后验分布\(\pi(r|x)\) （也就是x条件下点击率r的分布）是一个形式的
  • 既然我们知道了先验分布\(\pi(r)\) （也就是历史数据）的分布是beta分布，那么我们就知道了后验分布\(\pi(r|x)\) （也就是x条件下点击率r的分布）分布也是beta分布
  • 也就是说 ：先验分布\(\pi(r)\) （也就是历史数据） + 后验知识 ----> 后验分布\(\pi(r|x)\) （也就是x条件下点击率r的分布）
  • 那么接下来我们就需要求解后验分布\(\pi(r|x)\)的beta分布参数了
  • 根据什么什么证明，后验分布的参数\(\alpha = \alpha` + C, \beta = \beta` + I - C\)
  • 其中I是展示数量，C是点击数量，\(\alpha` 和 \beta`\) 是历史数据的beta分布参数
  • 那么后验分布\(\pi(r|x)\) 就是 \(beta( \alpha` + C, \beta` + I - C)\)
  • 如果我们要让点击率误差最小，那么取后验分布的均值，就是最好的点击率了！！！！也就是： \[mean = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{\alpha` + C}{\alpha + \beta + I}\]
  • 是不是很机智！！！

参数估计

能不能直接把历史点击和历史曝光分别赋值给α和β来进行计算呢？显然不行，因为这么做就会犯之前我们提到的那些问题，比如不同日期的曝光、点击权重应该不一样。所以基础的贝叶斯平滑是不能解决我们刚才提到的问题的，我们需要深入研究Beta分布的特性，用一种新的方法通过先验知识求解α和β，从而计算SmoothCTR。

参考文献CTR预估中的贝叶斯平滑方法（二）参数估计和代码实现

矩估计

矩估计的方法要追溯到19世纪的Karl Pearson，是基于一种简单的 “替换” 思想建立起来的一种估计方法。 其基本思想是用样本矩估计总体矩. 由大数定理，如果未知参数和总体的某个(些)矩有关系，我们可以很自然地来构造未知参数的估计。具体计算步骤如下：

Beta分布除了两个显性的重要参数α和β外，还有两个相对隐形但同样重要的参数，均值和方差，通过均值和方差可以唯一确定α和β的值，它们的数学关系如下：(见参考链接beta（贝塔）分布的数学期望和方差)

\[均值 mean =\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\] \[方差 var =\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta + 1)}\]

因此，如果我们根据数据集统计了平均值和方差，那么α和β的值也就确定了：

\[\alpha = mean \frac{mean(1-mean)}{var - 1}\]

\[\beta = (1-mean)\frac{mean(1-mean)}{var-1}\]

EM估计

这种估计方法其实叫Fixed-point iteration。只是有点类似EM的思想。

首先构造出似然函数，然后利用Fixed-point iteration来求得似然函数的最大值。

1）首先给出参数的一个初始值（通常可以使用矩估计得到的结果作为初始值）。

2）在初始值处，构造似然函数的一个紧的下界函数。这个下界函数可以求得其最大值处的闭式解，将此解作为新的估计用于下一次迭代中。

3）不断重复上述（2）的步骤，直至收敛。此时便可到达似然函数的stationary point。如果似然函数是convex的，那么此时就是唯一的最优解。

其实Fixed-point iteration的思想与EM类似。

代码

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#!/usr/bin/python
# coding=utf-8

import numpy
import random
import scipy.special as special
import pandas as pd
import time
import math
from math import log

class HyperParam(object):
    def __init__(self, alpha, beta):
        self.alpha = alpha
        self.beta = beta
    def sample_from_beta(self, alpha, beta, num, imp_upperbound):
        sample = numpy.random.beta(alpha, beta, num)
        I = []
        C = []
        for click_ratio in sample:
            imp = random.random() * imp_upperbound
            #imp = imp_upperbound
            click = imp * click_ratio
            I.append(imp)
            C.append(click)
        return I, C
    # 平滑方式1
    def update_from_data_by_FPI(self, tries, success, iter_num, epsilon):
        '''estimate alpha, beta using fixed point iteration'''
        '''tries ： 展示次数
           success : 点击次数
           iter_num : 迭代次数
           epsilon : 精度
        '''
        for i in range(iter_num):
            new_alpha, new_beta = self.__fixed_point_iteration(tries, success, self.alpha, self.beta)
            # 当迭代稳定时，停止迭代
            if abs(new_alpha-self.alpha)<epsilon and abs(new_beta-self.beta)<epsilon:
                break
            self.alpha = new_alpha
            self.beta = new_beta
    def __fixed_point_iteration(self, tries, success, alpha, beta):
        '''fixed point iteration'''
        sumfenzialpha = 0.0
        sumfenzibeta = 0.0
        sumfenmu = 0.0
        # digamma 指伽马函数，是阶乘在实数与复数域的扩展
        sumfenzialpha = special.digamma(success+alpha) - special.digamma(alpha)
        print sumfenzialpha
        # for i in range(len(tries)):
        #     sumfenzialpha += (special.digamma(success[i]+alpha) - special.digamma(alpha))
        #     sumfenzibeta += (special.digamma(tries[i]-success[i]+beta) - special.digamma(beta))
        #     sumfenmu += (special.digamma(tries[i]+alpha+beta) - special.digamma(alpha+beta))
        return alpha*(sumfenzialpha/sumfenmu), beta*(sumfenzibeta/sumfenmu)
      
    # 平滑方式2
    def update_from_data_by_moment(self, tries, success):
        '''estimate alpha, beta using moment estimation'''
        # 求均值和方差
        mean, var = self.__compute_moment(tries, success)
        #print 'mean and variance: ', mean, var
        #self.alpha = mean*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
        self.alpha = (mean+0.000001) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)
        #self.beta = (1-mean)*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
        self.beta = (1.000001 - mean) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)
    
    def __compute_moment(self, tries, success):
        # 求均值和方差
        '''moment estimation'''
        ctr_list = []
        # var = 0.0
        mean = (success / tries).mean()
        if len(tries) == 1:
            var = 0
        else:
            var = (success / tries).var()
        # for i in range(len(tries)):
        #     ctr_list.append(float(success[i])/tries[i])
        # mean = sum(ctr_list)/len(ctr_list)
        # for ctr in ctr_list:
        #     var += pow(ctr-mean, 2)
        return mean, var

def test():
    #设定初始值
    hyper = HyperParam(1, 1)
    #--------sample training data--------
    # I, C = hyper.sample_from_beta(10, 1000, 10000, 1000)
    # print I, C
    train_data = pd.read_csv('data.csv',nrows=10000)
    print 'read finish'
    # 统计点击次数和转化次数
    key = ['creativeID']
    train_data['count'] = 1
    train_data = train_data.groupby(key).agg('sum').reset_index()
    # 此时，train_data['count']是点击次数
    # train_data['label']是点击次数
    print 'cal finish'
    I = train_data['count']
    C = train_data['label']
    print key
    start = time.clock()
    #--------estimate parameter using fixed-point iteration--------
    # 计算平滑
    hyper.update_from_data_by_FPI(I, C, 1000, 0.00000001)
    end = time.clock()
    print hyper.alpha, hyper.beta
    print 'run time: ',end - start

    start1 = time.clock()
    #--------estimate parameter using moment estimation--------
    hyper.update_from_data_by_moment(I, C)
    end1 = time.clock()
    print hyper.alpha, hyper.beta
    print 'EM run time: ', end1 - start1

if __name__ == '__main__':
    test()

贝叶斯估计

参考文献转化率（CTR）预测的贝叶斯平滑

点击率平滑的假设

对于一件商品或一条广告，对于某次曝光，用户要么点击，要么没点击，这符合二项分布。因此下文中对于点击率类的贝叶斯平滑，都是基于以下假设：对于某件商品或广告XX，其是否被点击是一个伯努利分布（Bernoulli）。

\[X \sim Ber( r) \tag{3}\]

其中X表示某个广告是否被点击，点击取1，未被点击取0，r是某件商品被点击的概率，即点击率。

冷启动问题——点击率极大似然估计

在(3)式的假设下，可以使用极大似然法计算出点击率的估计值\(\hat{r}\) 。具体做法为：

从用户日志中随机抽取n条记录，对任一条记录i都有

\[X_i \sim Ber( r) \tag{4}\]

那么所有记录的点击数的联合概率密度就是上式的连乘，也就是构造了极大似然函数。将极大似然函数对r求导并令导数等于0，就可以解出\(r\) 的估计值\(\hat{r}\) 。\(\hat{r}\) 就是点击率的极大似然估计。当某个商品的点击次数或者曝光次数为0时，可以用\(\hat{r}\) 当成它的初始值。

然而这样并没有解决新上线广告问题。例如有两件商品A和B，其点击率分别为\(r_A=\frac{5}{10}\)和\(r_B=\frac{50}{100}\)，\(r_A=r_B\)，但商品A的曝光只有10次，商品B的曝光有100次，这样比较是否合理？那么我们就要用到贝叶斯估计来解决这个问题了！

广告投放不足问题——点击率的贝叶斯估计

在贝叶斯框架下，我们假设点击率r服从某个分布：

\[r \sim \pi(r) \tag{5}\]

因为这是基于经验的，这个分布称为先验分布。贝叶斯参数估计可以同时解决最开始提出的两个问题。其过程是基于经验或历史数据先给出一个r的估计值，然后基于现有的数据在这个估计值上修正，得到最终的点击率估计，此时的估计值已经是修正过的。更美好的是我们可以分离出修正参数，来进行更好的估计（即(2)式中的a和b）。

\[r = \frac{C+a}{I+b} \tag{2}\]

既然有先验分布，就有后验分布。r的后验分布记作\(\pi(r|x)\) 。 其中x表示输入数据或特征，对于点击率预测，x就是点击次数和曝光量。因为已经看到了数据，才确定r的分布，因此叫做『后验』分布。贝叶斯估计的实质就是求后验分布。即基于当前的点击次数和曝光量，求点击率的分布；而未看到数据之前点击率的分布是\(\pi(r)\)。下面会讲解如何计算后验分布\(\pi(r|x)\).

贝叶斯估计的过程可以简单认为：

用历史数据根据\(\pi(r)\)估计r，记作\(\hat{r}_{history}\)；用当前数据根据\(\pi(r|x)\)估计r，记作\(\hat{r}_{current}\)，然后用\(\hat{r}_{history}\)修正\(\hat{r}_{current}\)。

损失函数

r 的后验分布\(\pi(r|x)\)是个概率密度函数，无法知道r确切的值。需要求出最接近真实情况的r需要损失函数来约束。

适用于点击率的损失函数有：

\[L(\hat{r}, r) = (\hat{r} - r)^2\]

\[L(\hat{r}, r) = |\hat{r} - r|\]

贝叶斯参数估计的过程可以简单描述为：求\(\hat{r}\)，使得损失函数在r的后验分布上的期望最小。这句话的数学定义为：

\[\arg \min \int L(r, \hat{r}) \pi(r|\boldsymbol{x})\ dr = E_{\pi} L(r, \hat{r}) \tag{6}\]

因此需要知道\(\pi(r|x)\)的形式，然而\(\pi(r|x)\)的形式一般不知道的，但是可以知道\(\pi(r)\)的形式（经验值嘛，我们指定的）。此外，数据的分布我们也是知道的，其概率密度函数（pdf）记为\(f(x|r)\)，表示数据的分布跟参数r有关，r是要求解的参数，在这里就是点击率。

这时可以根据贝叶斯公式计算出\(\pi(r|x)\)：

\[\pi(r|\boldsymbol{x}) = \frac{f(\boldsymbol{x}|r)\pi(r)}{f(\boldsymbol{x})} \tag{7}\]

其中，

\[f(\boldsymbol{x}) = \int_0^\infty f(\boldsymbol{x}|r) \pi(r) dr\ \mbox{ (边缘概率密度定义)}\]

上式好复杂，但其实一些常见的分布都可以求出上式积分的具体形式。但通常不用实际去积分，因为满足一定条件，\(\pi(r)\)跟\(\pi(r|x)\)有一样的形式。\(\pi(r)\)是已知的，如果形式一样，\(\pi(r|x)\)也就容易求得了。下面介绍共轭先验的概念。

共轭先验： 如果找到一个\(\pi(r)\)，它是\(f(x|r)\)的共轭先验，那么r的后验分布\(\pi(r|x)\)和先验分布\(\pi(r)\)会有一样的形式。

『轭』是指驾车时套在牲口脖子上的曲木。古代拉扯的牲口通常有两只，因此轭是连接两只牲口的工具。在这里共轭是指\(\pi(r)\)和\(\pi(r|x)\)通过\(f(x|r)\)联系起来了。

之前假设广告是否点击服从伯努利分布，参数为r；对于点击次数，服从的是二项分布，即\(f(C, I|r) \sim Bin(r)\) ，二项分布的共轭先验是Beta分布。Beta分布的参数是α和β，即\(\pi(r) =Beta(\alpha, \beta)\) ,根据共轭先验的定义，r的后验分布\(\pi(r|x)\)的形式跟其先验分布\(\pi(r)\)一样，即\(\pi(r|x) = Beta(\alpha', \beta')\)。

对于点击率预测，求出\(\pi(r|x)\)，带入公式(6)，当\(L(\hat{r}, r) = (\hat{r} - r)^2\)时，

\[\hat{r} = \frac{C + \alpha}{I + \alpha + \beta} \tag{8}\]

上式的求解过程可以参考贝叶斯参数估计最后的例子。(8)式就是点击率估计（平滑）的最终形式。其中C和I就是点击次数和曝光量，α即为公式(2)中的a，α+β是公式(2)中的b。α和β是从历史数据中得到的。

上面的内容给出了为什么很多文章会假设点击率服从Beta分布的理由，因为最终的平滑的因子是Beta分布（先验分布）中的两个参数。

参考文献

  1. 计算广告训练与平滑思想
  2. CTR预估中的贝叶斯平滑方法（二）参数估计和代码实现
  3. 转化率（CTR）预测的贝叶斯平滑
  4. beta（贝塔）分布的数学期望和方差
  5. 贝叶斯参数估计